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所謂微積分的報告(遠

亞歷山大時期與阿基米德、歐幾里德被譽為古希臘三大數學家第三位重要的阿波羅尼斯(Apollonius of Perga,約公元前262-前190)出生在當代文化的中心——Perga(古代小亞細亞南岸地區柏爾加),也就是位於今天的土耳其的位置。數學家阿波羅尼斯出生在當代文化的中心——Perga(古代小亞細亞南岸地區),也就是位於今天的土耳其的位置。 當他還是個少年時,阿波羅尼斯前去亞曆山卓(埃及北部海港城市),並在歐幾里得(西元前300年Alexandria 的數學家)門下求學,後到小亞細亞西岸的帕加蒙(Pergamum)王國居住與工作,但晚年又回到亞歷山大,並卒於該城。唯一關於阿波羅尼斯生平的描述,我們可以在他的著作Conics的前言中被找到,在書中前言裡,我們得知阿波羅尼斯有個兒子也叫做阿波羅尼斯。   Conics《圓錐曲線論》共有八冊,含487個命題,書中詳細討論了圓錐曲線的各種性質,如切線、共軛直徑、極與極軸、點到錐線的最短與最長距離等,阿波羅尼斯圓是他的論著中一個著名的問題。前四卷是基礎部分,後四卷為擴展的內容,其中第8卷已失傳。但在希臘文版本中只有前四冊被保存下來,然而阿拉伯文版本的Conics的前七冊均被保留了下來。 阿波羅尼斯亦是位利用數學方法研究相關天文學(即使用幾何的模型去解釋星球理論)的重要創始人,也是許多應用的發明人,例如他發明了hemicyclium,即一個表面上有着時刻線的圓錐形的日晷,這個日晷帶給當時的計時工作有更大的精確度。 在阿波羅尼斯之前,希臘人用三種不同圓錐面導出圓錐曲線,在希臘人的觀點中,圓錐曲線就是圓錐被平面割截的截痕,但若死守這種觀點,圓錐曲線的性質就甚難推演。阿波羅尼斯由圓錐截痕的定義導出圓錐曲線中一些幾何量所具有的代數關係式,然後以這些關係式為基礎再導出其他的性質。   阿波羅尼斯則第一次從一個對頂(直圓或斜圓)錐得到所有的圓錐曲線,並給他們以正式的命名,現在通用的橢圓(ellipse)、雙曲線(hyperbola)和拋物線(parabola)就是他提出的。   十七世紀上半葉,法國數學家費馬(Fermat, 1601∼1665 年)研究阿波羅尼斯的作品時,注意到這樣的關係式,使他引進坐標,而能以代數的方法處理圓錐曲線,因而開創了解析幾何學。 解析幾何學的另一位開山祖師是 笛卡兒(Descartes, 1596∼1650 年)。他是一位法國著名的哲學家。他所關心的是幾何作圖問題,他引進了坐標,使圖形的關係變成代數方程式,解了代數方程式,就知道如何解決幾何作圖問題。在笛卡爾之前,數學家只能用綜合幾何的方法,解決一些特殊的情形。笛卡爾引進坐標,把幾何的問題變成解方程式的問題,一舉就把千古難題解決了。 到了十九世紀,解析幾何的另一發展方向是高維解析幾何的產生,它和解析幾何一樣,使空間的概念有了革命性的突破,使現代的幾何學更呈多樣化。 用解析幾何研究幾何作圖,採取的是從答案尋線回到已知,然後反過來再從已知證明答案的方法,這是傳統的解析方法,也是解析幾何的原意。解析幾何最早是用代數的方法來解析的,因此代數學也被看成是解析學的一支。解析幾何一般又統稱為坐標幾何,因為有了坐標,才能談坐標間的函數關係,才能談函數關係的幾何意義,這正是解析幾何的要義。直角坐標是屬於坐標幾何(解析幾何)的領域。 它的特色是我們可以把平面上的點用數對來表示,然後將平面上的圖形關係用代數的方式表示出來,那麼就可以利用代數的方法來探討平面一幾何圖形的性質。事實上,用代數的方法處理幾何問題,使幾何問題較易理解,且使形式複雜的幾何問題能有系統的關聯起來。 阿波羅尼斯圓   在平面上給定相異兩點A、B,設P點在同一平面上且滿足PA/PB= λ, 當λ>0且λ≠1時,P點的軌跡是個圓,這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓。 這個結論稱作阿波羅尼斯軌跡定理。這個結論稱作阿波羅尼斯軌跡定理。 設M、N分別為線段AB按定比λ分割的內分點和外分點,則MN為阿波羅尼斯圓的直徑,且MN=﹝2λ/(λ^2-1)﹞AB。 阿波羅尼斯定理: 1、設三角形的三邊和三中線分別為a、b、c、ma(a為下標,下同)、mb、mc,則有以下關係: b^2+c^2=a^2/2+2ma^2; c^2+a^2=b^2/2+2mb^2; a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。 此定理可由斯特瓦爾特定理 (Stewart theorem)證明。 2、橢圓兩共軛直徑的平方和等於長、短軸長的平方和;雙曲線兩共軛直徑的平方差等於長、短軸長的平方差。   阿波羅尼斯問題   “用圓規和直尺作出與三個已知圓相切的圓”。 這就是幾何學中有名的作圖問題,通常稱它為阿波羅尼斯問題(簡稱AP)。 這個問題可用反演方法來解決。這個問題可用反演方法來解決。   已經證明: 1、若三個圓中的每個圓都在其它兩個圓之外,則AP有8解; 1、若三個圓中的每個圓都在其它兩個圓之外,則AP有8解; 2、若三個圓相切於一個公共點,則AP有無數解; 2、若三個圓相切於一個公共點,則AP有無數解; 3、若一個圓處在另一個圓內部,則AP無解。 3、若一個圓處在另一個圓內部,則AP無解。 AP的特殊情況,即一個著名問題:作出與兩條已知直線(相交或平行)相切並過已知點的圓。 AP的特殊情況,即一個著名問題:作出與兩條已知直線(相交或平行)相切並過已知點的圓。   以橢圓的定義為例。設有定圓BC及其所在平面外一點A,過A且沿圓周移動的一根直線生成一對頂錐面(不一定是正圓錐)。現在用一平面與圓錐相截,設截面與底平面相交於直線GF且GF在底圓之外,又圓錐面相交成曲線EDL。在底圓上取直徑BC垂直GF,並延長使交GF於G。軸三角形ABC與曲線EDL交於E和D。EDG便是軸三角形平面與截平面的交線。取截曲線上任一點L,作ML//GF,交ED於M。阿波羅尼斯稱ML為縱標線,他希望對曲線上任意點建立起縱標線ML與同樣依賴於點L位置的線段EM之間的關係。為此,過M作PR//BC,則PR與ML所確定的平面與底面平行,故圓錐曲線相交成一圓,且PR為直徑,ML垂直PR。阿波羅尼斯還作了一些其他的輔助線(見下圖)。   然後利用熟知的平面幾何定理最後推得:   對於給定圓錐與截平面,ED,BK,CK和AK均為確定的線段,因此上述式子實際上是ML與EM之間的一個關係式。   如果用現代坐標幾何的語言來表述,取原點為E,EDG為橫軸,過E且平行於ML的直線為縱軸,在這樣建立起來的座標系一般說是斜角坐標系(因為在斜圓錐情形,雖有ML垂直PR,但ML一般不垂直於ED)。在這一坐標系中,記 ,EM=x,ML=y,則阿波羅尼斯得到上述關係式就相當於解析幾何中的橢圓方程:   阿波羅尼斯用類似的方法處理截平面與底圓相交的情形,當截平面不與任何母線平行(此時它必與圓錐面的兩支都相交)時,他得到的關係式相當於今天的雙曲線方程:   而當截平面平行於一條母線時,所得關係式則相當於今天的拋物線方程:   阿波羅尼斯分別稱這三種曲線為"虧曲線"、"盈曲線"和"齊曲線",這是他從畢達哥拉斯學派和歐基里德的面積貼合法中借來的用語。例如歐基里德《原本》中常將一矩形"貼合"於一線段,意將矩形的底置於該線段上,使其底的一端與線段的一個端點重合。依據貼合矩形的底短於、超過還是重合於該線段而區分出"虧"、"盈"和"齊"三種情形。阿波羅尼斯在定義圓錐曲線時進行了這樣的討論:在截平面上過E點作EH垂直EC且使EH=p,連接H,D,作MN//EH且與EH等長,設MN交HD於X,又過X作XO垂直EH。阿波羅尼斯證明了:   這相當於將以EM為一邊、面積等於以ML為邊的正方形的矩形貼合到EH上去。阿波羅尼斯指出,對於上述的三種圓錐截線來說,貼合矩形的另一邊EO恰好分別小於(虧缺)、大於(盈餘)和等於(齊同)線段EH(他稱EH=p為正焦弦)。這就是"虧曲線"、"盈曲線"和"齊曲線"名稱的由來。阿波羅尼斯創用的這三個希臘名詞後來經過音譯轉化成西方語言中對圓錐曲線的標準用語(橢圓ellipse;雙曲線hyperbola;拋物線parabola)。   阿波羅尼斯用統一的方式引出三種圓錐曲線之後,便展開了對它們的性質的廣泛討論,內容涉及圓錐曲線的直徑、共軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸近線、橢圓與雙曲線的焦點以及處在各種不同位置的圓錐曲線的交點數等等。《圓錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深奧的結果,尤其突出的是第五卷中關於從定點到一圓錐曲線的最長和最短線段的探討,其中實質上提出了圓錐曲線的法線包絡即漸屈線的概念,它們是近代微分幾何的課題。第三、四卷中關於圓錐曲線的極點與極線的調和性質的論述,則包含了攝影幾何學的萌芽思想。   《圓錐曲線論》可以說是希臘演繹幾何的最高成就。阿波羅尼斯用純幾何的手段達到了今日解析幾何的一些主要結論,這是令人驚嘆的。但另一方面,這種純幾何的形式,不僅使這部著作本身晦澀難懂,同時也使其後數千年間的幾何學裹足不前。幾何學中的新時代,要到17世紀,笛卡爾等人起來打破希臘式的演繹傳統後才得以來臨。                  ----------- 好吧我也不想說什麼了 做這份我真的覺得自己會葛屁(咦 有一大半是我自己用手一個個字碼出來的阿阿阿--(哭跑    然後抱怨其他的 微積分真的出現危機了!(何? 老師… 你再繼續嘟嘴扁嘴還是裝彆扭裝可愛我就真的要在上課爆走了啊啊啊--!! 可惡老師你再繼續受下去我就、就…… 就噴鼻血給你看!(何(你滾囧!)
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